逻辑回归原理梳理_以python为工具 【Python机器学习系列（九）】

文章目录

• 1.传统线性回归
• 2.引入sigmoid函数并复合
• 3. 代价函数
• 4.似然函数也可以
• 5. python梯度下降实现逻辑回归
• 6.python梯度下降实现非线性逻辑回归

大家好，我是侯小啾！

 今天分享的内容是，逻辑回归的原理，及过程中的公式推导。并使用python实现梯度下降法的逻辑回归。
    ʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞʚʕ̯•͡˔•̯᷅ʔɞ

1.传统线性回归

逻辑回归是一种常用的回归模型，是广义的线性回归的一种特例。做线性回归时，我们采用预测函数的一般形式为：

h(X)=ωTX+b=θTX

（其中

b

b

b可以和

ω

\\omega

ω和并写为

θ

\\theta

θ，这样即相当于给矩阵X一个全为1的列。）

2.引入sigmoid函数并复合

在使用逻辑回归做分类问题时，单纯的这个式子已经不能满足我们的需求。以二分类为例，样本数据中对事件是否发生的描述，只有0和1。为建立描述目标事件发生概率与样本特征之间的关系，因为事件发生的概率分布在[0,1]区间内，所以这里可以与sigmoid函数组成复合函数：
 
          

g(z)=1+e−z1​

sigmoid函数的定义域为全体实数，而值域为(0,1)，函数曲线如图所示：
      

将h(x)嵌套进g(z)得到新的H(x)表达式为：
 
     

H(X)=g(h(X))=p=1+e−(ωTX+b)1​

这里的H(X)表示事件发生概率的的预测值 p。（即结果为1的概率，值越大表示结果越可能为1，越小表示结果越可能为0）

此式，也等价于将对数几率

ln1−pp​=ωTX+b

（这里只做普及，下边进一步的过程还使用H(x)而不用对数几率。因为以样本结果的1和0作为真实的p值，取值只有0和1，而当p=1时的对数几率为无穷，所以不适用。）

3. 代价函数

在传统的线性回归中，我们只需找到能使均方误差最小的

b值即可，这个表示均方误差的表达式即“代价函数”。在这里的逻辑回归中，我们同样需要选择合适的代价函数：

cost(H(X),yi​)=−m1​∑i=1m​[−yi​(ln(H(X))−(1−y)ln(1−H(X)))]

其中，m表示样本总数为m。如何理解这个式子呢：
 
因为H(X)是在(0,1)范围内的，所以

b值。

这个式子还可以进一步化简，具体这里不再展示。

4.似然函数也可以

也可以使用似然函数代替代价函数：

L(ω)=∏i=1m​pyi​(1−p)1−yi​

此表达式的含义是，每个样本预测正确的概率的乘积。
其中p即H(X)预测的结果。

pyi​为1。
而我们的目的是，尽可能地使得这个乘积最大。

对该表达式两边同时去对数，得：

=∑i=1m​(yi​ωTxi​−ln(1+eωTxi​))

5. python梯度下降实现逻辑回归

得到或part3和part4得到的表达式后，可以使用梯度下降或牛顿法的方法进一步对参数

b 进行求解了。
 
以梯度下降法为例，首先自行准备一组数据，形如：
        
其中第一列，第二列为两列特征，第三列为标签值。

梯度下降法实现逻辑回归的python代码如下，：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 读取数据
data = np.genfromtxt("data.csv", delimiter=",")

# 特征：选择前两列
x_data = data[:, :-1]
# 标签：y
y_data = data[:, -1]
# 给X添加一列全为1的数据，即 将b和Ω合并写为θ。
X_data = np.concatenate((np.ones((len(x_data), 1)), x_data), axis=1)


# 定义sigmoid函数
def sigmoid_(x):
    return 1 / (1 + np.exp(-x))


# 定义损失函数 
# xMat:x_data矩阵  yMat：y_data矩阵  ws：参数向量的转置
def cost_(xMat, yMat, ws):
	# 左式，即y实际为1时
    left = np.multiply(yMat, np.log(sigmoid_(xMat * ws)))
    # 右式，即y实际为0时
    right = np.multiply(1 - yMat, np.log(1 - sigmoid_(xMat * ws)))
    return np.sum(left + right) / -(len(xMat))


# 定义梯度下降求解θ
def gradAscent(xArr, yArr):
    # 将ndarry类型转为矩阵类型
    xMat = np.mat(xArr)
    yMat = np.mat(yArr)

    # 初始化学习率
    lr = 0.001
    # 初始化迭代次数
    epochs = 10000

    # 取出 样本个数m 以及 特征个数n
    m, n = np.shape(xMat)
    # 初始化的θ --> θ^T*xMat   θ0*x0+θ1*x1+θ2*x2
    ws = np.mat(np.ones((n, 1)))
    # 初始化损失列表
    costList = []

    # 迭代
    for i in range(epochs + 1):
        # 求导
        # 1.h(x)  100*3 3*1 --> 100*1 -->每个样本都有一个h(x)
        h = sigmoid_(xMat * ws)
        # print(f"xMat shape:{np.shape(xMat)}")
        # print(f"ws shape:{np.shape(ws)}")

        # 矩阵乘法：n*m m*1 --> n*1 -->
        # xMat:m*n  3*100   m*1 1*100
        # h-->预测值  (m*1)
        # yMat-->真实值 (m*1)
        ws_grad = xMat.T * (h - yMat.T) / m
        # print(f"xmat.T shape{np.shape(xMat.T)}")
        # print(f"yMat shape{np.shape(h - yMat.T)}")

        # print(np.shape(ws_grad))

        # 更新ws-->theta向量
        ws = ws - lr * ws_grad

        if i % 50 == 0:
            costList.append(cost_(xMat, yMat, ws))

    # 返回theta向量ws，以及损失列表
    return ws, costList


# 训练模型
ws, costList = gradAscent(X_data, y_data)
print(ws)

# 初始化测试集的数据
x_test = [[-4],[3]]
# 计算分类函数
y_test = -(x_test*ws[1]+ws[0])/ws[2]

# 绘制loss曲线
# 生成0,10000
x = np.linspace(0,10000,201)
plt.plot(x,costList)
plt.xlabel("epochs")
plt.ylabel("Cost")
plt.show()

损失曲线如图所示：
      
可见当迭代次数在2000左右时，函数的损失已经区域稳定，所以10000次迭代是绝对可靠的。

最终返回

b值为-0.36341304。

6.python梯度下降实现非线性逻辑回归

python梯度下降实现非线性逻辑回归代码示例如下：

import numpy as np
import seaborn as sns
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.metrics import classification_report
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures


# 读取数据
data = np.genfromtxt("data2.txt", delimiter=",")

x_data = data[:, :-1]
y_data = data[:, -1, np.newaxis]


df = pd.DataFrame(data, columns=["x1", "x2", "y"])
sns.scatterplot(x="x1", y="x2", data=df, hue="y")
plt.show()

首先准备一组数据，其中有两个特征，一组标签，标签分为0和1两类。绘制出数据分布散点图如下图所示：

其中，蓝色点表示0类，黄色点表示1类。
则这里的回归过程需要涉及多项式。

接下来定义损失函数和梯度下降求解的函数。代码入下所示：

def cost_(xMat, yMat, ws):
    # 进行相乘
    left = np.multiply(yMat, np.log(sigmoid_(xMat * ws)))
    right = np.multiply(1 - yMat, np.log(1 - sigmoid_(xMat * ws)))
    return np.sum(left + right) / -(len(xMat))


# 定义梯度下降求解θ
def gradAscent(xArr, yArr):
    # 将ndarry类型转为矩阵
    xMat = np.mat(xArr)
    yMat = np.mat(yArr)
    # 初始化学习率
    lr = 0.001
    # 初始化迭代次数
    epochs = 10000
    m, n = np.shape(xMat)
    ws = np.mat(np.ones((n, 1)))
    costList = []

    # 迭代
    for i in range(epochs + 1):
        h = sigmoid_(xMat * ws)
        ws_grad = xMat.T * (h - yMat) / m
        # 更新ws-->theta向量
        ws = ws - lr * ws_grad
        if i % 50 == 0:
            costList.append(cost_(xMat, yMat, ws))

    # 返回theta向量ws，以及损失列表
    return ws, costList

将最高次项设定为3次项，并将原数据转换为多项式数据，然后梯度下降求解：

poly_reg = PolynomialFeatures(degree=3)
x_poly = poly_reg.fit_transform(x_data)
ws, costList = gradAscent(x_poly, y_data)

# 输出求解结果（假设两个特征的名字分别为x1,x2）
point = poly_reg.get_feature_names_out(['x1', 'x2'])
print(point)
print(ws)

则求解情况如下图所示：
 

这里不再额外准备数据了，还使用原训练样本数据，来进行预测，目的在于体现代码及逻辑：

# 定义预测函数
def predict_(x_data, ws):
    # 首先将ndarray转换为matrix
    xMat = np.mat(x_data)
    # 将theta转变为矩阵
    ws = np.mat(ws)
    # 以0.5为阈值，h(x)>5则1，否则为0
    return [1 if x >= 0.5 else 0 for x in sigmoid_(xMat*ws)]

# 预测
pred = predict_(x_poly, ws)
print(pred)
# 输出报告
print(classification_report(y_data, pred))

预测结果与评估报告输出如下：
  

本次分享就到这里，小啾感谢您的关注与支持！
🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ🌹꧔ꦿ

本专栏更多好文欢迎点击下方连接：
 
1.初识机器学习前导内容_你需要知道的基本概念罗列_以PY为工具 【Python机器学习系列（一）】
 
2.sklearn库数据标准预处理合集_【Python机器学习系列（二）】
 
3.K_近邻算法_分类Ionosphere电离层数据【python机器学习系列（三）】
 
4.python机器学习 一元线性回归 梯度下降法的实现 【Python机器学习系列（四）】
 
5.sklearn实现一元线性回归 【Python机器学习系列（五）】
 
6.多元线性回归_梯度下降法实现【Python机器学习系列（六）】
 
7.sklearn实现多元线性回归 【Python机器学习系列（七）】
 
8.sklearn实现多项式线性回归_一元/多元 【Python机器学习系列（八）】